一、分形分维技术原理

所谓分形，就是自然界中不规则、无限复杂的几何形体，其内部存在着自相似性，即局部与整体相似，描述分形的定量参数叫分维。分形几何学的主要研究内容是自相似性的不规则曲线或位形（称线性分形）和具有自仿射性的信号序列。因此把在形态（结构）、功能和信息等方面具有自相似性的研究对象统称为分形。它是定量描述自然界中不规则、复杂现象的强有力工具，近十多年来，已广泛应用到地质学的各个领域。

分形理论是混沌学科的一个分支，是20世纪70年代发展起来的新兴学科。曼德尔布罗把分形定义为：其组成部分与整体以某种形式相似，并用分维D值来定量描述分形的复杂程度。国外许多学者证明了岩石破裂具有自相似结构，分形维数是对复杂地质现象的一种定量反映。可以利用分形几何对裂缝的分布形态和裂缝密度进行描述，对储层的分布规律进行定量预测。本区裂缝的复杂形态及分布具有较明显的分形特征，可以用分形方法研究和评价本区裂缝，为了定量研究分形问题，可以定义一个分形集合 

可见，lnNn与lnrn呈线性关系，分数维D是直线斜率。根据分维数定义式，可以设计一个物理模型，进而求出储层裂缝的分数维D值。

    二、分形维数的求取方法

求分数维D的方法有多种，通过对比分析，认为适合本区裂缝分维数测定的统计方法是网络覆盖法。

    1.二维图形的分形维数求取方法

该方法的基本步骤是：用边长为r的正方形网格覆盖整个岩芯，然后统计包含有裂缝的正方形格子数；逐步改变正方形网格的边长r，统计相应的；以r为横坐标，为纵坐标，在双对数坐标系中采用最小二乘法对统计数据作回归分析。如果岩芯上的裂缝分布具有分形特征，那么lnNn与lnrn应满足式的线形关系，其相关性应该是高度显著的（当线性相关性系数的平方大于0.99，则认为岩芯裂缝的分布具有分形特征）。此时，该回归直线的斜率即岩芯上裂缝分布的分数维D值.

分形理论是组成部分与整体以某种形式相似，根据相似原理，可以不考虑尺度的实际大小。网络覆盖法可以用逐步加密法，具体步骤是：将岩心用正方形网格覆盖，将边长等分m份，即边长为原来的1/m，统计包含有裂缝的正方形格子数N（m）,逐步改变等分数m，统计相应的N（m），后面做法与上相同。   

两种方法实际都是同样大小的网格，而第二种方法更便于操作，而且好似r不断缩小的过程， 根据Hausdoff-Besicvith维数定义;

ε— 特征物体的标度；

ε在这里表示为1/m。

    2.岩芯裂缝密度的分形统计

岩石裂缝体系的分布具有极不规则的几何形态。众多的研究表明这种复杂形态具有统计意义下的自相似性，属无规则分形，我们采用网络覆盖法统计岩芯铸体薄片上裂缝分布的分数维D值。图1左图是用网络覆盖法统计的庄13井某段岩芯裂正方形区域内缝分形维数模型, 用正方形网格覆模型。是这段岩芯的统计图，左图x轴选用用实际长度r= 71.6,107.5,143,215,430μm的网格做的交会图结果，右图是将图1左覆盖部分按照m=5、10、15、20、30等分法得到的交会图，相关系数的平方R2=0.9988，分数维值D值为0.9808； 

统计所选用的正方形网格覆盖岩心边长均分为5、10、15、20、30。统计结果表明，用最小二乘法回归的相关系数均在0.99以上，说明该地区岩芯裂缝具有较好的分形特征。

    三、分维数与裂缝密度的关系

    1.裂缝密度

裂缝密度反映了裂缝的多少，通常可按照某一参照系而划分密度类型，如体积密度，面积裂缝密度，线性裂缝密度。裂缝密度本次采用单位面积内裂缝的累计长度来表示，可用裂缝长度与正方形边长成线性关系，裂缝密度表示

  给出了4口井的岩心分维数,对比相应段的裂缝密度,发现二者具有很好的相关性,进行了回归得到裂缝密度与分析维数的关系。y = 3.7955x – 2.8624相关系数的平方r2=0.8224

可见分维数与裂缝密度之间具有很好的正相关性。平均维数D=1.1729，可得裂缝发育密度裂缝密度m=1.59。 

岩心分形特征的研究是通过统计小尺寸条件下从小到大不同尺寸对应的具有裂缝的网格块数,总结回归出其内在的自相似结构关系,通过这个关系就可以描述预测大尺度条件下的裂缝发育规律，从而可解决大尺度裂缝的描述预测问题。

    2.实例分析

裂缝在岩石变形时，破裂是先后形成的。在已形成破裂面一定距离内因应变能量很容易释放，不可能形成新裂缝，也就是说裂缝在一定范围内达到饱和，因此，尽管局部应力很大，在已有裂缝的区域，只能产生形变，不产生新缝，同时只会激发相距一定距离的岩石产生破裂，保证了裂缝的有限性。裂缝间距分布符合Gamma分布模式。

西峰油田的140取芯井资料中，有47口井出现裂缝提示，占33.5%，试井解释244口水井，有82口解释为裂缝，占33.6%，两者比例几乎相等，且47口井169个带裂缝岩心样品透率分布直方图和试井解释长度分布直方图，两者也具有很大的相似性。裂缝长度、渗透率等也符合这种分布模式。

前人研究表明，裂缝间距分布符合Gamma分布模式，取值和裂缝的发育情况有关，在同一个研究区域内，裂缝间距，裂缝长度、渗透率都符合同样的分布模式，为简化计算，47口井的裂缝长度分布概率取试井解释模型和岩心分析渗透率分布模型的平均值。 采用抽样统计方法，将140口取芯井，井筒面积5.32平方米，有47口井存在裂缝，且裂缝长度符合图分布模式，得到裂缝总长度为3.14米，裂缝密度1.36m/m2，与岩心分析1.59比较吻合。

    四、结论

岩石破裂形成的构造裂缝具有分形特征，西峰油田长81储层裂缝天然裂缝的维数为0.9809-1.3484，裂缝发育密度在1.06-2.5之间，平均密度为1.59，其值可以作为表征缝密度的定量参数，。由于岩石裂缝的非线性自相似性，通过求取各井的分形维数可以得出全区裂缝发育密度，在每平方千米内有较大天然裂缝总长度1.59千米。

（作者单位：长庆油田采油二厂地质所）